Noisy-channel and Ba...

疾病检测不仅是教材中介绍贝叶斯定理的经典例子，在实际生活中也有着广泛的应用。本文以一个简化过的疾病检测为例子，通过类比的方法，期望建立贝叶斯推理（这里指用到了贝叶斯定理）和二元对称噪音信道模型的关系。

1. 疾病检测例子的问题描述

“John每个月都会去疾控中心体检，其中一项是A疾病检测。当下A检测的可靠性是95%，即得A疾病的情况下检测结果是阳性的概率是95%（也意味着在没得A的情况下检测结果是阴性的概率也是95%）。经过长期的医疗实践，发现A患者的比例是1%。这个月John检测的结果是阳性，医生告诉他检测结果的可靠性是95%，他凭感觉认为他得A疾病的概率因此也是95%，是这样的吗？”

• 对上述问题形式化如下。

A = 1 表示患疾病A；           A = 0 表示没有得疾病A

B = 1 表示检测结果为阳性；     B = 0 表示检测结果为阴性

• 由题意可得如下已知概率。

P(A=1) = 0.01    P(A=0) = 0.99

P(B=1|A=1) = 0.95    P(B=1|A=0) = 0.05

P(B=0|A=1) = 0.05    P(B=0|A=0) = 0.95

• John所关心的概率是：P(A=1|B=1)

2.  二元对称噪音信道模型

二元对称噪音信道如下图所示。

源端输入是A，取两个值0和1；目的端输出是B，取两个值0和1；噪音信道的噪音层级 f = 0.05，即A通过该噪音信道时有5%的概率会改变A的值（从0改为1与从1改为0的概率都是相等的且为0.05）。

3.  噪音信道模型和贝叶斯定理

上述二元噪音信道模型可以刻画疾病检测的例子。

“携带有是否患有疾病信息的源信号A，经过不可靠性为5%的噪音信道，得到检测结果为B=1的目的端信号值。John关心的问题：P(A=1|B=1)，就是求在目的端接收到B=1的情况下源端发送A=1的概率，即解码问题。”

【这里，源端发送A=0和A=1的概率是事先已知的，分别是P(A=1) = 0.01，P(A=0) = 0.99】

4.  疾病检测例子的解答

由贝叶斯定理：

P(A=1|B=1) = P(A=1) * P(B=1|A=1)  / ( P(A=1)*P(B=1|A=1) + P(A=0)*P(B=1|A=0) )

= 0.01 * 0.95 / (0.01*0.95 + 0.99*0.05)

= 0.16

因此尽管John的检测结果是阳性，他确实得A疾病的概率是16%，远小于95%（该疾病是少见的），但也远大于1%（检测结果支撑了是得疾病的原因）

（完）